✎☛ Déterminer si deux droites sont perpendiculaires

Méthode

Pour déterminer si deux droites sont perpendiculaires, on regarde d'abord si elles sont orthogonales. Pour cela, on calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et on regarde si celui-ci vaut \(0\) . Si c'est le cas, les droites sont orthogonales.
On détermine alors les coordonnées de leur éventuel point d'intersection : ces coordonnées vérifient les représentations paramétriques des deux droites simultanément.

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit \(d_1\)  la droite de représentation paramétrique  \(\begin{cases} x = 4+5t \\ y = -5t \\ z = -3+3t \\ \end{cases}\)   \(, t\in\mathbb R\) .

Soit   \(d_2\) la droite de représentation paramétrique  \(\begin{cases} x = 1+3s \\ y = 0 \\ z = 2-5s \\ \end{cases}\)   \(, s\in\mathbb R\) .

Les deux droites sont-elles perpendiculaires ?

Solution
\(d_1\)  est dirigée pa r  \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\-5\\3\\ \end{pmatrix}\)  et \(d_2\)  est dirig ée par  \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3\\0\\-5\\ \end{pmatrix}\) .
Or  \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = 5\times 3+(-5)\times 0+3\times (-5)=15+0-15=0\) .
Les vecteurs directeurs de chaque droite sont orthogonaux. Donc les deux droites sont orthogonales.
On cherche  \(\text I(x~;~y~;~z)\)  le point d'intersection des droites.
On résout le système suivant, d'inconnues  \(t\)  et  \(s\) :  \(\begin{cases} 4+5t=1+3s \\ -5t=0 \\ -3+3t=2-5s \\ \end{cases}\) .
La deuxième équation donne :  \(t=0\) .
On remplace cette valeur dans l'une des deux autres équations et on obtient :  \(s=1\) .
On regarde si le couple obtenu est solution de l'équation restante.
Le système admet un unique couple solution  \((t,s)=(0,1)\) .
On remplace l'une des valeurs des paramètres (par exemple \(t=0\)  dans la représentation paramétrique de  \(d_1\) ) et on trouve  \(\text I(4~;~0~;-3)\) .
Conclusion : les deux droites sont perpendiculaires au point   \(\text I(4~;~0~;-3)\) .